Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

$fraccion_algebraica001$

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si $fraccion_algebraica003$ se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

$fraccion_alebraica_004$

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

$fraccion_algebraica_002$

Otro ejemplo, simplificar la fracción

$fraccion_algebraica_005$

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

$fraccion_algebraica_006$

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador .

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

$fraccion_algebraica_007$

Como el denominador es común (x + 1) , este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

$fraccion_algebraica_008$

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

$fraccion_algebraica_009$

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m . de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.) . (No confundir con M.C.D, Máximo Común Divisor)

Para calcular el m.c.m. factorizamos

5ab	a ²	15b ²	÷	a
5b	a	15b ²	÷	a
5b	1	15b ²	÷	b
5	1	15b	÷	b
5	1	15	÷	5
1	1	3	÷	3
1	1	1

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a ² • b ² • 15 que es lo mismo que 15a ² b ² y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a ² b ² ) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

$fracciones_algebraicas_010$

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a ² b ² ) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

$fraccion_algebraica_011$

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:

Sumar $fraccion_alegeraica_012$

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos

$fraccion_algebraica_013$

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea $fraccion_algebraica_014$ una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra $fraccion_algebraica_015$ , entonces: $fraccion_algebraica_016$

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

$fraccion_algebraica_017$

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

$fraccion_algebraica_018$

Simplificamos antes de efectuar el producto:

$fraccion_algebraica_019$

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

$fraccion_algebraica_020$

Ejemplos desarrollados

a) $fraccion_algebraica_021$

b) $fraccion_algebraica_022$

c) $fraccion_algebraica_023$

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables .

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea $fraccion_algebraica_014$ una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra $fraccion_algebraica_015$ , entonces:

$fraccion_algebraica_024$

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir

$fraccion_algebraica_025$

Anotamos haciendo el producto cruzado:

$fraccion_algebraica_026$

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

$fraccion_algebraica_027$

Ejemplos desarrollados

a) $fraccion_algebraica_028$

b) $fraccion_algebraica_029$

c) $fraccion_algebraica_030$

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d) $fraccion_algebraica_031$