Productos notables |
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores .
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales ) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación, veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable ).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 |
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a 2 + 2ab + b 2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b) 2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Ver: PSU; Matemática
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 |
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a 2 – 2ab + b 2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b) 2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a 2 – b 2 |
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a 2 – b 2
Ver: PSU: Matematica,
Otros casos de productos notable (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x 2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) |
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x 2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x 2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9 x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x 2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x 2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x 2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b) |
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x 2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b) .
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x 2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b) |
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x 2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b) .
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx 2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b) |
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx) .
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx 2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b) .
Cubo de una suma
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 |
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b) 3 .
Cubo de una diferencia
a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 = (a – b) 3 |
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b) 3 .
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:
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Producto notable
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Expresión algebraica
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Nombre
|
|
(a + b) 2 |
= |
a 2 + 2ab + b 2 |
Binomio al cuadrado |
|
(a + b) 3 |
= |
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 |
Binomio al cubo |
|
a 2 - b 2 |
= |
(a + b) (a - b) |
Diferencia de cuadrados |
|
a 3 - b 3 |
= |
(a - b) (a 2 + b 2 + ab) |
Diferencia de cubos |
|
a 3 + b 3 |
= |
(a + b) (a 2 + b 2 - ab) |
Suma de cubos |
|
a 4 - b 4 |
= |
(a + b) (a - b) (a 2 + b 2 ) |
Diferencia cuarta |
|
(a + b + c) 2 |
= |
a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc |
Trinomio al cuadrado |
Fuentes Internet:
http://valle.fciencias.unam.mx/~rocio/factorizacion/factorizacion.html
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html