Pregunta 17_2005

El valor del número real positivo x que verifica la igualdad 2logx 2 + 4logx 4 = 5 es

A)   1

B)   2

C)   4

D)   5

E)   8

Eje temático: Álgebra y funciones

Comentario:

Para responder esta pregunta, los alumnos deben aplicar correctamente tanto las propiedades de los logaritmos como su definición.

La igualdad 2logx 2 + 4logx 4 = 5 se puede expresar, aplicando la propiedad log _b m ⁿ = n • log _b m ,

es decir, logx 2 ² + logx 4 ⁴ = 5 ,  luego aplicando el logaritmo de un producto, log _b mn = log _b m + log _b n ,

resulta logx 4 •  4 ⁴ =  5 , es decir, logx 4 ⁵ =  5 , por último, usando la definición de logaritmo log _b m  =  t ,

que es equivalente b ^t =  m , se tiene 4 ⁵ =  x ⁵ , de donde x = 4 .

También se puede resolver evitando la propiedad del producto,

2logx 2 + 4logx 4 = 5

logx 2 ² + 4logx 4 = 5

logx 4 + 4logx 4 = 5 sumando el lado izquierdo de la igualdad se obtiene

5logx 4 = 5 simplificando por 5, resulta logx 4 = 1 ,  aplicando la definición de logaritmo 4 = x ¹ , donde x = 4

El programa de estudio ubica este contenido en Cuarto de Enseñanza Media, luego es un tema que deberían tener muy fresco, pero resultó difícil y con una alta omisión, demostrando un pobre manejo de las propiedades de los logaritmos y su definición.

Fuente Internet:

Publicación oficial del Demre en www.demre.cl