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Potenciación: Leyes o Reglas de los exponentes

En matemática, representar en forma abreviada la multiplicación de factores iguales se llama potenciación .

En una operación de potenciación, intervienen los siguientes elementos:

a = base

m = exponente

b = la potencia

Lo que en forma generalizada se expresa como

potencia_leyes001

A partir de esta expresión general es posible entender las leyes o reglas de los exponentes.

Primera ley:

Producto de potencias con la igual base.

Para multiplicar potencias con igual base (distinta de cero), se mantiene la base, pero elevada a la suma de los exponentes.

potencia_leyes002

Segunda ley:

Cociente (división) de potencias con la misma base.

Para dividir potencias que tengan la misma base, se mantiene la base, pero  elevada a la diferencia de los exponentes.

potencia_leyes003

Al respecto, veamos el siguiente ejemplo:

potencia_leyes004

Lo que también se expresa como

potencia_leyes005

Resultado que por transitividad es igual a:

potencia_leyes006

Entonces, podemos concluir que:

potencia_leyes007

Una base cualquiera elevada a un exponente negativo es igual a su recíproco elevado al mismo exponente, pero positivo.

Tercera ley:

Potencia de una potencia

La potencia de otra potencia con base distinta de cero, es igual a una potencia con esa misma base, pero elevada al producto de los exponentes.

potencia_leyes008

Ver más: Potencia sobre potencia

Cuarta ley:

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados al exponente común:

potencia_leyes009

Quinta ley:

Un cociente (expresado como fracción) elevado a una potencia, es igual a elevar tanto el numerador como el denominador al mismo exponente.

potencia_leyes010

Otros casos

En seguida, tenemos varios casos que pueden deducirse de las leyes ya enunciadas:

1.- División de potencias con igual base e igual exponente.

Si aplicamos le segunda ley, resulta que:

potencia_leyes011

Cualquier base diferente de cero cuyo exponente sea cero, será igual a uno.

2.- Todo número elevado a la primera potencia es igual que ese mismo número

potencia_leyes012

3.- Mención especial merece el caso de la potenciación con exponente fraccionario.

potencia_leyes013

Una base cualquiera elevada a un exponente fraccionario, será igual a extraer raíz de la base elevada al numerador de la fracción, y el grado de la raíz será igual al denominador de la fracción.

Nota final:

Aplicar correctamente estas leyes conduce a obtener los resultados esperados al resolver expresiones algebraicas.

Ver: Cuadro sinóptico con las leyes o reglas (propiedades) de los exponentes

Ir a: Potencias de base entera

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