Función: imagen y preimagen |
A modo de recapitulación, podemos definir función de la siguiente manera:
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para todo elemento que pertenece al conjunto A existe un solo elemento, y solo uno, que pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde.
Para simbolizar que se ha establecido una función f , de un conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación:
f : A → B
Criterio de la función
En un sentido abstracto, calcular una función consiste en examinar la correspondencia general de “y” con respecto a “x” , expresado en la fórmula abstracta:
y = f(x)
Esta fórmula establece que la magnitud “y” está, de modo general, en función de “x”.
Ojo, que la magnitud “y” corresponde a lo que luego llamaremos “imagen”, y que depende del valor que se le asigne a “x” (que será la “preimagen”) en f(x).
La notación y = f (x) se lee “y” es una función de “x” o “y” es igual a f de x (esta notación no significa f por (x)). Obviamente en lugar de “x” e “y” hubiésemos podido emplear “variable”, y escribirlo así:
Variable dependiente = f (variable independiente)
Ejemplo 1
Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 6} y su correspondencia es el doble.
Entonces f(x) = 2x
En efecto
f(1) = 2 • 1 = 2
f(2) = 2 • 2 = 4
f(3) = 2 • 3 = 6
Tenemos
Dominio = {1, 2, 3}
Codominio = {2, 4, 6}
Ámbito (rango o recorrido) = {2, 4, 6}
Ejemplo 2
Si A = {1, 3, 5} y B = {3, 5, 7, 9, 11} y su correspondencia es el doble más uno.
Entonces f(x) = 2x + 1
En efecto:
f(1) = 2 • 1 + 1 = 3
f(3) = 2 • 3 + 1 = 7
f(5) = 2 • 5 + 1 = 11
Tenemos
Dominio = {1, 3, 5}
Codominio = {3, 5, 7, 9, 11}
Ámbito (rango o recorrido) = {3, 7, 11}
Conceptos básicos de la función
Dada una función f : A → B (es lo mismo que f : X → Y ) se define:
* El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio , se puede representar como f D.
* Al conjunto B se llama conjunto de llegada o codominio .
* Se llaman preimágenes a los elementos del conjunto de partida o dominio.
* Se llaman imágenes a los elementos del conjunto de llegada o codominio que están asociados a una preimagen, mediante el criterio de la función.
* Se llama rango (recorrido o ámbito) de una función al conjunto formado por las imágenes. Este conjunto es un subconjunto del codominio, se puede representar como f R ó f A, respectivamente.
Para ilustrar los conceptos anteriores usaremos lo que se denomina Diagramas de Venn-Euler.
Ejemplo 3
Analizar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio, codominio y el ámbito (rango o recorrido).
Tenemos
Dominio (Df) = {1, 2, 3, 4}
Codominio = {1, 4, 9, 16, 25}
Ámbito (Af) = {1, 4, 9, 16}
Ejemplo 4
Analizar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio, codominio y el ámbito.
Tenemos
Dominio (Df) = {1,2 3, 4}
Codominio = {−1, −2, −3, −4}
Ámbito (Af) = {−1, −2, −3, −4}
Recuerde que los elementos del dominio se llaman preimágenes y los elementos del ámbito (rango o recorrido) se llaman imágenes.
Debido a que es posible que el codominio y el ámbito estén compuestos por el mismo conjunto de elementos, suele pensarse que codominio y ámbito es lo mismo, el concepto y los ejemplos anteriores nos permiten darnos cuenta que pensar así es un error.
Cálculo de la imagen
Debemos recordar que el conjunto de partida esta formado por las preimágenes y, se llama dominio, las preimágenes son los valores que toma la variable independiente .
Ejemplo 5
Un carpintero gasta $350 por cada silla que haga más un monto fijo de $2.000 por día ¿cuánto gastará si hace 2 sillas por día? ¿Cuánto gastará si hace 4, 6 u 8 sillas por día?
Para este ejemplo, x representa cada silla y f(x) el costo de fabricarla, lo cual significa que el costo es igual a multiplicar 350 por cada silla y sumarle el gasto fijo. Es decir:
f(x) = 350x + 2.000
Por lo que el valor de la variable independiente x para la primera pregunta es 2. Para encontrar la respuesta sustituimos el valor de dicha variable en el criterio de la función.
f(2) = 350 • 2 + 2.000
f(2) = 700 + 2.000
f(2) = 2.700
Entonces si hace solamente 2 sillas en un día, gastaría $2.700 en hacerlas.
De esto podemos decir que 2 es la preimagen de 2.700.
Además:
f(4) = 350 • 4 + 2.000 = 3.400
f(6) = 350 • 6 + 2.000 = 4.100
f(8) = 350 • 8 + 2.000 = 4.800
Tenemos, entonces:
fD = {2, 4, 6, 8}
Codominio: {2.700, 3.400, 4.100, 4.800}
Ejemplo 6
Tenemos f(x)= x 2 – 6x +7 ¿Cuál es la imagen de 10?
Dado que nos preguntan por la imagen esto significa que 10 es una preimagen por lo que x = 10
f(10) = 10 2 − 6 • 10 + 7
f(10) = 100 − 60 + 7
f(10) = 47
Cálculo de la preimagen
Para calcular la preimagen de una función, conociendo la imagen y el criterio (el miembro de la derecha de la ecuación), se iguala el criterio de la función con la imagen que se tiene.
Despejando la incógnita de la ecuación que se forma se determina el valor de la variable.
Ejemplo 7
Si tenemos f(x)= x 2 – 6 ¿Cuál es la preimagen de – 5 ?
Dado que nos preguntan por la preimagen esto significa que –5 es una imagen por lo que f(x) = –5
−5 = x 2 – 6
− 5 + 6 = x 2
1 = x 2
x = ± 1
Las preimágenes de –5 son –1 y 1. Para este caso recordemos que en una función una imagen debe tener al menos una preimagen, aunque puede tener más de una.
Ejemplo 8
Si tenemos f(x)= 3x + 5 ¿Cuál es la preimagen de 11?
Dado que nos preguntan por la preimagen esto significa que 11 es una imagen por lo que f(x) = 11
11 = 3x + 5
11 − 5 = 3x
6 = 3x
2 = x
La preimagen de 11 es 2.
Ejercicios
Determine o calcule la imagen en cada caso
1. Sea f(x)= x2 – 6x + 7 ¿Cuál es la imagen de 7?
Como nos preguntan por la imagen de 7, significa que 7 es una preimagen.
2. Sea f(x)= 3x2 – x +2 ¿Cuál es la imagen de 9?
3. Para elaborar empanadas una señora gasta $ 30 por cada empanada que hace además de $ 750 por día en gastos fijos.
A. ¿Cuánto gastará elaborando 25 empanadas?
B. ¿Cuánto gastará elaborando 50 empanadas?
En este caso el criterio de la función de costo es C(x)= 30x + 750.
Aquí, las preguntas serían:
A. ¿Cuál es la imagen de 25?
B. ¿Cuál es la imagen de 50?
4. En una fábrica gastan $ 1.275 por cada par de zapatos elaborado y tiene un gasto de $ 13.500 por día. ¿Cuanto gastan en la elaboración de 350 pares de zapatos?
En este caso el criterio de la función de costo es Z(x)=1.275x + 13.500.
La pregunta sería ¿cuál es la imagen de 350?
5. Un carpintero gasta $ 1.000 en materiales por cada silla elaborada más un gasto fijo de $ 2.300 por día ¿Cuánto gastara elaborando 56 sillas en un día?
6. Un viejo ferry que transporta personas de un lado al otro del canal de Chacao gasta $ 25 por persona que transporte y un litro de aceite por día. El aceite cuesta $ 1.384 el litro. ¿Cuánto gastó el dueño del ferry hoy, si transportó 500 personas?
7. Para bajar un balde al fondo de un pozo se utilizan un sistema de palancas que necesitan 4 m. de cuerda para poder colocarlo sobre la boca del pozo. ¿Cuánta cuerda se necesita si se desea bajar el balde a 12 m. de profundidad del pozo? En este caso tomaremos el criterio de la función como P(x) = x + 4.
8. Un joven de séptimo año es contratado por su padre, y le pagará $ 45.000 por atender la panadería de su familia durante sus vacaciones. Pero además le pagará $ 50 por cada nuevo cliente, que por su forma de atender regrese a comprar una segunda vez. Y logró que 25 nuevos clientes regresaran por segunda vez. ¿Cuánto ganó el joven durante ese tiempo?
9. Un modelo de costo para un producto establece que tiene un costo fijo de $ 17.500 y un costo por unidad de $ 348. ¿Qué costo tendrá fabricar 23 productos?
P(x)=348x + 17.500
10. Una compañía hotelera de clase media realiza un análisis que establece que el costo diario por turista es de $ 975 más un cargo fijo de $ 20.000. ¿Cuál será el costo de recibir a 15 turistas en un día? Si la tarifa diaria es de $ 3.500 por turista ¿tendrá ganancia ese día el hotelero?
Determine o calcule la preimagen en cada caso
1. Sea f(x)= 5x +12. Hallar la preimagen para cuando:
a). f(x) = 27 (es la imagen)
b). f(x) =47 (es la imagen)
c). f(x) = – 3 (es la imagen)
d). f(x) = – 13 (es la imagen)
2. Sea f(x)= 2x 2 + 7. Hallar la preimagen para cuando:
a). f(x) = 15
b). f(x) =169
c). f(x) = 57
d). f(x) = 39
3. Sea f(x)= x 2 + 7 ¿Cuál es la preimagen de 7?
f(x) = 7 (es la imagen)
x es la preimagen
4. Sea f(x)= 3x 2 +2 ¿Cuál es la preimagen de 77?
f(x) = 77 (es la imagen)
x es la preimagen
5. Un fabricante ha determinado que la función de costo de su producto está determinada por f(x)= 2x 3 – 1.250, donde x representa cada unidad que se fabrica por día. Si el gasto de hoy es fue de $ 842.500. ¿Cuántas unidades de ese producto fabricaron?
Que es lo mismo que preguntar ¿cuál es la preimagen de 842.500?
f(x) = 2x 3 − 1.250
f(x) = 842.500 (es la imagen)
x es la preimagen
Resolvemos:
6. Para elaborar pasteles una señora gasta $ 350 por cada pastel que hace además de $ 1.150 por día en gastos fijos. Si sabemos que el día de hoy gastó $ 16.200 ¿cuántos pasteles habrá elaborado?
En este caso el criterio de la función de costo es C(x)= 350x+1.150
7. En una fábrica gastan $ 1.275 por cada par de zapatos elaborado y tiene un gasto de $ 13.500 por día. Si en un día gasto $ 64.500 ¿cuántos zapatos habrá elaborado?
En este caso el criterio de la función de costo es Z(x)= 1.275x + 13.500.
8. Un carpintero gasta $ 1.000 en materiales por cada silla elaborada más un gasto fijo de $ 2.300 por día. Si el último día del mes gasto $ 35.300 ¿cuántas sillas habrá elaborado?
9. Un viejo ferry que transporta personas de un lado al otro del canal de Chacao gasta $ 25 por persona que transporte y un litro de aceite por día. El aceite cuesta $ 1.384 el litro. Si el gasto de hoy fue de $ 3.509 ¿cuántas personas transportaron hoy?
10. Un modelo de costo para un producto establece que tiene un costo fijo de $ 17.500 y un costo por unidad de $ 348. Si es costo total de fabricar algunas unidades de ese producto fue de $ 22.720 ¿Cuántas unidades se fabricaron?
P(x)=348x + 17.500
Para complementar el tema
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Dominio y recorrido
Fuentes Internet:
http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/concepto%20de%20funcion.pdf
http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA24/FuncionLineal.html
http://www.jfinternational.com/funciones-matematicas.html