Vectores

Antes de definir científicamente qué es un vector, intentemos conocer o identificar un vector.

Veamos la siguiente figura:

Vector001

Esta figura nos muestra un sistema de coordenadas espaciales (y, x, z) y un vector V . Entonces, podemos decir que básicamente, un vector es una flecha, la cual nos indica una dirección . En este caso, la flecha expresa el sentido positivo del vector.

También se puede afirmar que un vector representa una dirección en el espacio .

Con más detalle, un vector es un segmento de recta con origen en un punto del espacio y que sirve para representar magnitudes que tienen una dirección y un sentido (por lo mismo se llaman magnitudes vectoriales ).

La velocidad y la fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales.

Como hablamos de magnitud, eso significa que tiene un tamaño, el cual llamaremos módulo . Entonces un vector tiene módulo (digamos que es su tamaño), dirección y sentido.

Vector002

En la figura, de arriba, el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo vectorial, y su dirección es la misma de la flecha.

Aquí es importante destacar que con los vectores también se pueden realizar algunas operaciones como la suma y la resta de ellos o la multiplicación de un vector por un escalar.

Antes de continuar, aclaremos estos dos conceptos: magnitud escalar y magnitud vectorial .

Magnitudes físicas

Las magnitudes físicas o variables se clasifican en dos grandes grupos:

Magnitudes escalares: Son aquellas que quedan definidas exclusivamente por un módulo; es decir, por un número acompañado de una unidad de medida. Es el caso de masa (5 kg), tiempo (27 s), temperatura (400° C), distancia (78 km), por ejemplo.

Magnitudes vectoriales: Son aquellas que quedan totalmente definidas con un módulo, una dirección y un sentido. Es el caso de la velocidad, la fuerza o el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario especificar hacia dónde se dirigen y, en algunos casos, dónde se encuentran aplicadas.

Todas las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que se simbolizan a través de una flecha, como ya lo vimos.

Volvamos a lo nuestro.

Características de un vector

Los vectores, según se ha dicho, se representan geométricamente con segmentos lineales terminados en una pequeña punta de flecha y se les asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha dibujada de izquierda a derecha como se muestra en la figura siguiente, donde se nombran sus características:

Vector003

Analicemos estas características:

Módulo:

Representa el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud (número). Se denota con la letra A o |A|.

Pueden ser vectores de igual módulo o vectores de distinto módulo.

Vectores con igual módulo, figura de arriba, pero distintas direcciones. Los tres vectores de la figura podrían representar, por ejemplo, una velocidad de 15 km/h, pero en distintas direcciones.

Vector005

Vectores de distinto módulo, pero igual dirección y sentido.

Los vectores de la figura de arriba podrían representar velocidades de 20 km/h, 5 km/h y 15 km/h, respectivamente.

Vector006

Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos contrarios.

Dirección:

Corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal imaginario. También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x, y, z) como también los puntos cardinales para la dirección.

Dos vectores tienen la misma dirección cuando la inclinación de la recta que los representa es la misma; es decir, cuando son paralelos.

Sentido:

Está indicado por la punta de la flecha (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo).

Operatoria Vectorial

Como ya dijimos más arriba, al igual que los números, los vectores pueden operarse entre sí, a través de la suma, la resta, la multiplicación por un escalar, o la división por un escalar.

La suma y la resta de vectores se pueden realizar en forma geométrica, como veremos en seguida; pero también se pueden calcular de manera algebraica o matemática como veremos después.

Suma geométrica de vectores

Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante). Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como “regla del paralelogramo” . Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma .

La siguiente imagen, ilustra la suma de vectores:

Vector007
Por ejemplo, si queremos sumar vectores A + B , se dibuja uno a continuación del otro, trasladándolo. El vector resultante es el que va desde el punto inicial del primer vector, hasta el término del segundo vector.

Cabe destacar que la suma es conmutativa; es decir: A + B = B + A

Cuando se quiere sumar más de un vector, se procede de la misma forma anterior, pero ahora se colocan uno a continuación del otro hasta el último. Luego la recta que une el inicio del primer vector con el término del último es el vector resultante, como se muestra en la figura siguiente:

Vector008 .

Resta geométrica de vectores

Para la resta se procede de la misma forma que la suma, pero el vector que resta se debe dibujar con sentido contrario; o sea, el signo negativo cambia el sentido del vector. Luego el vector resultante es el que va desde el punto inicial del primer vector, hasta el final del vector al que se le cambió el sentido.

Cabe mencionar que la resta no es conmutativa:

A - B es distinto a B - A
A - B = - ( B - A )

La siguiente ilustración muestra la resta de dos vectores:

Vector009