Potencias con base y exponente distintos

Cuando dos potencias o expresiones tienen igual base (4) y exponentes diferentes, como

hay reglas que permiten operar entre ellas. Dichas reglas permiten multiplicar o dividir estas potencias solo combinando los exponentes distintos. También es posible operar cuando las bases son distintas pero los exponentes son iguales, como

Ver: Potencias de base entera

Sin embargo, cuando dos potencias o expresiones tienen bases distintas con exponentes distintos no es posible combinar dichos exponentes sumándolos o restándolos.

Por ejemplo, veamos una multiplicación. Si tenemos

no hay manera de combinar los términos en una sola expresión.

No podemos hacer, por ejemplo,

Para resolver el problema podríamos calcular el valor de cada potencia y hacer la operación respectiva:

Con números más grandes habría que usar una calculadora, y así y todo resulta engorroso.

Para casos como el del ejemplo, multiplicar potencias con base y exponente distintos, existe una manera de operar, que está dada por la fórmula

O, por esta, que es lo mismo

Que, para el caso de nuestro ejemplo anterior sería

Respecto a este ejemplo o ejercicio, hay dos cosas que recordar:

Primero, toda potencia con exponente negativo (4 ^-2 ) , corresponde a una fracción formada por el inverso de la base y con el denominador de la misma elevado al mismo exponente, pero positivo:

Segundo, incluso aplicando la fórmula anterior, de todos modos llega un momento en que debemos calcular el valor de cada potencia para obtener un resultado final.

¿Cómo dividir potencias de distinta base y distinto exponente?

Igual como en el caso de la multiplicación, podríamos resolverlas calculando el valor de las potencias y dividiéndolas, pero esto no resulta muy cómodo si no se dispone de una calculadora.

En algunos casos,  se pueden igualar las bases (no siempre es posible igualar bases), entonces al dividir solo restaremos los exponentes, pues tendremos una división de potencias con bases iguales:

Ejemplo:

Para igualar las bases convertimos el 4 en 2 ² , y tenemos

Como sabemos (se supone que sabemos), cuando elevamos una potencia a otra potencia debemos multiplicar los exponentes:

como llegamos a una división de potencias de igual base, solo restamos los exponentes y llegamos al resultado: 2 ¹⁶

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