Para trabajar con parábolas en su forma algebraica, léase función cuadrática o ecuación de la parábola, con  la intención de llevarlas a su gráfica, o viceversa (desde una gráfica encontrar la ecuación) es muy útil trabajar con la forma normal o estándar de la ecuación cuadrática.

Esto significa que la ecuación cuadrática de una función cuadrática, de su forma general conocida como

 f(x) = ax²+ bx + c,

se puede transformar o expresar en su forma normal o estándar como

f(x) = a(x – h)²+ k.

Para realizar este proceso, la primera condición es que b ≠ 0  (b sea distinto de cero), entonces, con la técnica de completar el cuadrado, la ecuación cuadrática de su forma general se puede cambiar a la forma

f(x) = a(x – h)² + k,

conocida como normal o estándar, para determinados números reales, h y k.

Apliquemos esta técnica en el ejemplo siguiente.

Dada una función cuadrática en su forma general

f(x) = 3x² + 24x + 50,

expresar en su forma normal o estándar

f(x) = a(x – h)² + k.

Solución

Antes de completar el cuadrado es esencial sacar al coeficiente de x² como factor común de los dos primeros términos de f(x) en su forma general, como sigue:

f(x) = 3x² + 24x + 50

función dada

El factor común de los dos primeros términos es 3, entonces

f(x) = 3(x² + 8x) + 50

se saca 3 como factor de

3x² + 24x

Ahora se completa el cuadrado de la expresión

x² + 8x

del paréntesis, sumándole el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; es decir  (8/2)² ,  o sea, 16.

Para quedar

3(x² + 8x + 16)

Sin embargo, si se suma 16 a la expresión entre paréntesis, entonces, debido al factor 3, en realidad se está sumando 48 a f(x).

Por lo tanto, se debe compensar restando 48 en el resto de la ecuación:

f(x) = 3(x² + 8x) + 50 función dada

f(x) = 3(x² + 8x + 16) + (50 – 48) se completa el cuadrado para x² + 8x

f(x) = 3(x + 4)² + 2 ecuación equivalente.

Como vemos, esta última expresión tiene la forma a(x – h)² + k, llamada forma normal o estándar de la ecuación cuadrática, donde

a = 3,

h = - 4 (el +4 de la ecuación dada se convierte en – 4 por imperio de la fórmula  x –  h)

 y

 k = 2

Volver a:

Ecuación de la parábola

Función cuadrática

Ecuación cuadrática