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Operaciones con intervalos: unión e intersección

Como ya aprendimos, los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente por un trazo o una semirrecta en la recta numérica.

Ver: Intervalos

Aprendimos que existen intervalos abiertos , que son aquellos en que no se incluyen los extremos; intervalos cerrados , aquellos en que se incluyen los extremos, e intervalos que combinan extremos abierto con cerrado .

Si el valor de un extremo no se incluye en la representación de un intervalo se utiliza una circunferencia vacía en dicho extremo; en cambio, si el valor se incluye, se utiliza una circunferencia rellena .

intervalos01

El dibujo superior grafica el intervalo entre todos los números (x) mayores que 7 (x > 7), excluido el 7,  hasta el infinito (+ ∞)

intervalos02

Este dibujo grafica el intervalo entre los números (x) mayores o iguales a 7 (x ≥ 7), incluyendo el 7, hasta el infinito (+ ∞).

Como vemos, la simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < (menor que) o > (mayor que) ; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ≥ (mayor o igual que) o el signo ≤ (menor o igual que) .

Cuando se trata de valores menor que o mayor que (o sea que no incluyen sus extremos) se puede utilizar el símbolo ( ), para anotar el par ordenado de que se trate.

Y cuando se trata de valores igual o menor e igual o mayor que (o sea que incluyan sus extremos) se puede utilizar el símbolo [ ].

Una vez que dominamos la representación gráfica de los intervalos podemos hacer algunas operaciones con ellos.

Podemos hacer uniones entre intervalos e intersecciones entre intervalos.

Unión de intervalos

La unión de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que están en el intervalo A o bien están en el intervalo B o bien están en los dos intervalos a la vez.

Se representa con el símbolo ∪. Por ejemplo, la unión de dos intervalos se puede representar así:

intervalo004b

O también

intervalo005b

Cómo calcular la unión de dos intervalos

Vamos a ver ahora cómo calcular la unión de dos intervalos, al mismo tiempo que resolvemos unos ejemplos.

Empezamos por el primero:

intervalo004b

En la recta numérica el primer intervalo (abajo, coloreado en rojo) comienza en -5 (abierto por la izquierda, marcado con circunferencia vacía) y termina en cero (cerrado por la derecha, marcado con circunferencia llena).

intervalo006b

En la misma recta, representamos el segundo intervalo (abajo, coloreado en azul), que comienza en -1 (abierto por la izquierda, marcado con circunferencia vacía) y sigue hasta infinito, que siempre indicará un intervalo abierto y por tanto no se incluye en el intervalo:

intervalo007b

La unión de estos dos intervalos corresponde con la parte coloreada de la recta, desde el comienzo del rojo hasta el azul infinito.

Veamos el segundo ejemplo:

intervalo005b

Representamos el primer intervalo [-1,3) en la recta numérica: Está cerrado por la izquierda, por lo que ponemos un punto lleno en -1, y abierto por la izquierda, por lo que en 3 dibujamos un punto vacío:

intervalo008b

Representamos el segundo intervalo (2,4) en la misma recta. Es un intervalo abierto en ambos extremos, por lo que empieza en 2 con un punto vacío y termina en 4 con otro punto vacío:

intervalo009b

La unión de los dos intervalos es la parte de la recta que se queda coloreada de algún color (o de ambos). En este caso empieza en -1 con un punto lleno y termina en 4 con un punto vacío, por tanto, el intervalo será cerrado por la izquierda y abierto por la derecha:

intervalo010b

Unión de intervalos separados

En el ejemplo anterior, la unión se hace entre intervalos que se cruzan o están juntos; pero hay casos donde los intervalos están separados en la recta real; como, por ejemplo, el siguiente:

intervalo011b

Si representamos ambos intervalos en la recta numérica nos queda:

intervalo012b

En este caso, la unión de intervalos no se refleja en uno solo, y la unión sigue siendo la unión de dos intervalos. No hay otra forma de expresarlo:

intervalo011b

Intersección de intervalos

La intersección de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que son comunes en el intervalo A y en el intervalo B.

Se representa con el símbolo ∩. Por ejemplo, la intersección de dos intervalos se puede representar así:

intervalo013b

O también así:

intervalo014b

Cómo calcular la intersección de dos intervalos

Para calcular la intersección de dos intervalos, deben graficarse ambos en la misma recta numérica, y la intersección de ellos corresponderá con la porción de la recta donde coinciden los dos intervalos.

Veamos esto con el primer ejemplo:

intervalo013b

El primer intervalo (-4,3] en la recta, comienza en -4 con un punto vacío rojo (abierto por la izquierda) y termina en 3 con un punto lleno rojo [cerrado por la derecha]:

intervalo015b

En la misma recta, el segundo intervalo (0,2], comienza en 0 con un punto vacío azul (abierto por la izquierda) y termina en 2 con un punto lleno azul [cerrado por la derecha]:

intervalo016b

La parte donde coinciden los dos colores es la intersección de los intervalos.

En este caso, el tramo donde coinciden los dos intervalos empieza en 0 con un punto vacío (abierto por la izquierda) y termina en 2 con un punto lleno [cerrado por la derecha].

Por tanto, la intersección de intervalos es:

Veamos el otro ejemplo:

intervalo014b

Graficamos el primer intervalo [-2,2), que empieza en -2, con un punto lleno [cerrado por la izquierda], y termina en 2, con un punto vacío (abierto por la derecha).

En la misma recta numérica representamos el segundo intervalo (1,4) que empieza en -1 con un punto vacío y termina en 4 con otro punto vacío, al ser un intervalo abierto:

intervalo019b

La intersección de intervalos es la parte común a los dos intervalos. En este caso, la parte común empieza en 1 y termina en 2.

En, el 1 hay un punto vacío por el segundo intervalo; por lo tanto, queda abierto por la izquierda.

El 2 tiene un punto vacío por el primer intervalo; por lo tanto, queda abierto por la derecha.

La intersección de ambos intervalos nos queda entonces:

intervalo020b

Intersección de intervalos separados

Veamos cómo calcular la intersección de dos intervalos cuando estos se encuentran separados en la recta real.

Por ejemplo:

intervalo021b

Representados ambos intervalos en la recta real nos queda:

intervalo022b

Vemos que los intervalos no tienen ningún punto en común, luego la intersección de intervalos sería el conjunto vacío:

intervalo023b

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