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PSU: Geometría

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Pregunta 10_2005

En la figura, O es el centro de la circunferencia y ΔABC es isósceles, tal que trazo AC = BC . Las medidas de los ángulos α, β y γ se pueden determinar si:

p10_001_2005

Alternativas

A)   (1) po si sola

B)   (2) por si sola

C)   ambas juntas, (1) y (2)

D)   cada una por si sola, (1) o (2)

E)   se requiere información adicional

Tema: Criterios de congruencia de triángulos

Comentario

Al analizar los datos entregados se puede determinar que el ΔAOC es congruente con ΔBOC (por el criterio LLL ), pues:

AC = BC (por el enunciado) y OC = OA = OB = radio .

Luego, cada uno de estos triángulos son isósceles de bases AC y BC , respectivamente, y en donde los ángulos basales son todos iguales entre sí:

p10_002_2005

Con la afirmación (1) se puede determinar la medida de ángulo OCB y, por lo tanto, la del ángulo OCA que es igual debido a la congruencia de los triángulos señalados.

Lo anterior permite determinar el valor del ángulo γ , pues es opuesto por el vértice con el ángulo ACB .

En el ΔABC sus ángulos basales son iguales ( p10_003_2005 ), esto permite determinar los valores de α y β pues ya se conoce la medida del ángulo ACB . Por lo tanto, (1) por si sola sirve para determinar lo pedido.

Al analizar los datos de la afirmación (2) y dado que por la congruencia de los triángulos AOC y BOC se sabe que p10_004_2005 , se deduce la medida de cada uno de ellos, pudiendo hacer de nuevo el mismo análisis anterior y llegar a la conclusión de que (2), por si sola, también sirve. Por lo tanto, la clave es D .

Este item también, se puede resolver usando las propiedades de ángulo del centro y de ángulo inscrito en una circunferencia .

Si analizamos (1): como el arco subtendido por ángulo BOC (ángulo del centro)  es igual al arco subtendido por ángulo BAC (ángulo inscrito), se puede concluir que el valor del ángulo BAC es la mitad de la medida del ángulo BOC y, por lo tanto, se puede determinar el ángulo α que es opuesto por el vértice con el ángulo BAC .

Como el ΔABC es isósceles de base AB , se deduce que p10_005_2005 .

Además, (1) también permite determinar el ángulo γ , al conocer los ángulos basales del triángulo ABC .

Por lo tanto, (1) por si sola sirve.

Al analizar (2), como ángulo AOB (ángulo del centro) subtiende igual arco que ángulo ACB (ángulo inscrito), se puede determinar ángulo γ como la mitad de la medida del ángulo AOB .

También se sabe que el triángulo ABC es isósceles por los datos entregados en el enunciado del problema, determinándose así la medida de los ángulos CAB y ABC , luego ángulo α y ángulo β se determinan por ser opuestos por el vértice a los respectivos ángulos basales.

Luego, (2) por sí sola, también sirve, por lo que la opción D es la correcta.

La pregunta resultó difícil y cerca de un tercio de las personas que la enfrentaron la omitió.

Fuente Internet:

Publicación oficial del Demre en www.demre.cl

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