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PSU: Geometría

Pregunta 07_2006

En la semicircunferencia de centro O de la figura

x

el ∠ BOC mide 100º. En el triángulo isósceles AED de base AD ¿cuánto mide el ∠ AED ?

Alternativas

A) 70º

B) 50º

C) 40º

D) 20º

E) Ninguno de los valores anteriores.

Comentario:

Una manera de resolverla es usando que el Δ AED es isósceles de base AD, luego ∠ BAO = ∠ CDO , como trazo OB y trazo OC son radios, los triángulos ODC y OAB son isósceles. Así, se tiene que:

∠ BAO = ∠ ABO = ∠ CDO = ∠ DCO y ∠ COD = ∠ BOA = 40º pues ∠ BOC = 100º .

Por lo tanto, ∠ BAO = ∠ CDO = 70º donde el ángulo pedido AED = 40º.

Otra manera es usar ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia y en particular la propiedad que los relaciona:

“Un ángulo inscrito corresponde a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco”.

Como el Δ AED es isósceles de base AD, se tiene que ∠ BAO = ∠ CDO , p07_2006_001 pues son radios de la circunferencia (al igual que trazo OA y trazo OD), luego Δ ODC y Δ OAB son isósceles, en que ∠ BAO = ∠ ABO = ∠ CDO = ∠  ODC , por lo tanto ∠ COD = ∠ BOA y como ∠ BOC = 100º los ángulos COD y BOA miden 40º cada uno.

Como el ∠ COA = 140º , es ángulo del centro que subtiende arco CA , el ∠ EDA mide 70º, porque es ángulo inscrito en la circunferencia y que subtiende también el mismo arco CA .

Y como Δ AED es isósceles de base AD, entonces también ∠ EAD = 70º ,

Por lo que el ángulo pedido AED = 40º , donde la clave es la opción C) .

La contestó bien sólo el 12,9 por ciento de los estudiantes que abordaron la pregunta y la omisión fue alta (40,5 por ciento).

Fuente Internet:

Publicación oficial del Demre en www.demre.cl

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