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PSU: Geometría

Pregunta 02_2006

En el plano se muestra el polígono ABCD (fig. 1) .

p02_2006_001

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El perímetro del polígono es p02_001_2006 .

II) Cada diagonal del polígono mide 4.

III) El área del polígono es p02_002_2006 .

Alternativas

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

Contenido: Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos. Resolución de problemas con polígonos y descomposición en figuras elementales congruentes.

Comentario:

En la figura se han formado los triángulos OAB, OBC, OCD y ODA congruentes entre sí, por el criterio de LAL , como lo demostraremos a continuación:

En efecto, en la figura 1, OA = OB = OC = OD = 2 , además Δ AOB = Δ BOC = Δ COD = Δ DOA = 90º .

Luego por el criterio de LAL , se tiene:

p02_003_2006

Si calculamos la medida de uno de los lados de este polígono ABCD (y que son a su vez hipotenusa de su triángulo rectángulo respectivo), usando el Teorema de Pitágoras , se tiene:

AB 2 = 2 2 + 2 2 , de donde p02_004_2006 , luego, como todos los lados del polígono son iguales, se tiene que, el perímetro del cuadrilátero ABCD es

p02_0005_2006 ,  por lo tanto, I) es verdadera .

Como se desprende de la figura dada, CA = BD = 4 , por lo tanto II) también es verdadera .

Para analizar III), se puede calcular el área de cada uno de estos triángulos rectángulos y multiplicar su resultado por 4 o, también, como el polígono ABCD de la figura es, a su vez un cuadrado, se puede hacer también calculando el área como el cuadrado de un lado.

El área de uno de estos triángulos es igual al semiproducto de sus catetos; es decir p02_006_2006 , luego, el área total de la figura ABCD será igual a 8, por lo tanto III) es falsa.

Así la opción correcta es la C) .

Este ítem resultó muy difícil, pues lo contestó bien solamente el 17,6 por ciento de quienes lo abordaron y la omisión fue altísima (60,2 por ciento).

Llama la atención lo difícil que resultó y su alta omisión, considerando que es un problema de descomposición de polígonos , en el cual hay que utilizar el Teorema de Pitágoras y realizar algunos cálculos de áreas y de perímetros bastante rutinarios.

Fuente Internet:

Publicación oficial del Demre en www.demre.cl

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