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PSU: Geometría

Pregunta 02_2005

Dadas tres circunferencias congruentes, de radio 2 cm, de centros A, O y B y dos de ellas tangentes en O, como se muestra en la figura ¿cuál es el área del trapecio ABCD?

P02_2005_Geometria

Alternativas

P02_2005_002

Clave: C

Comentario

La pregunta pertenece al contenido resolución de problemas de congruencia de figuras planas y descomposición de figuras elementales y conguentes.

Como las circunferencias de centros A y B son tangentes en O , y trazo DC es paralelo a trazo AB , porque ABCD es un trapecio, entonces los ángulos del centro OAD y OBC son iguales entre si, porque subtienden arcos congruentes.

Además, trazos DC = AO = OB porque DO // CB (ya que P02_2005_003 , pues se oponen a arcos OC y AD congruentes).

Luego, al unir D con O y O con C , se forman tres triángulos equilateros y congruentes entre sí por tener tres lados iguales (por el criterio LLL ); es decir, P02_2005_004 .

Es así que basta calcular el área de uno de estos tres triángulos y multiplicar por 3 el valor obtenido.

En todo triángulo equilátero de lado a, cualquiera de sus alturas es igual a P02_2005_005 , luego:

Si tomamos Δ AOD de base AO = 2 cm , su altura será P02_2005_006 .

Por lo que el área del P02_2005_007 .
Al multiplicar por 3, el área del trapecio es P02_2005_008 , por lo tanto, la clave es C.

Otra forma de resolver este ítem es que, una vez establecida la congruencia de los triángulos, se calcule la altura del trapecio

( P02_2005_006 ).

Luego, aplicando la fórmula del área del trapecio, se tiene: P02_2005_009 .

Esta pregunta resultó muy difícil y más de un tercio de los alumnos la omiitó.

Fuente Internet:

Publicación oficial del Demre en www.demre.cl

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